Unité Fondamentale

Ce module de semestre 3, d'un coefficient 3 et de 5 crédits, constitue une unité d'enseignement fondamentale dans le parcours de mathématiques. Il vise à fournir à l'étudiant une compréhension approfondie des concepts algébriques avancés qui sont à la base de nombreuses théories mathématiques et de leurs applications.

Objectifs pédagogiques :
L'objectif principal est d'acquérir les éléments fondamentaux de l'algèbre linéaire avancée. À l'issue de ce module, l'étudiant sera capable de :

• Maîtriser la théorie de la réduction des endomorphismes.

• Analyser la structure d'une matrice via son polynôme caractéristique et le théorème de Cayley-Hamilton.

• Diagonaliser ou trigonaliser des matrices, et comprendre les formes canoniques de Jordan.

• Utiliser l'outil matriciel pour résoudre des systèmes d'équations différentielles linéaires via l'exponentielle d'une matrice.

Contenu du programme :
Le cours est articulé autour de trois axes majeurs :

1. Rappels sur les polynômes : Construction de l'anneau des polynômes, essentiel pour la suite.

2. Réduction des endomorphismes : Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton, diagonalisation, trigonalisation et introduction aux formes de Jordan.

3. Applications avancées : Exponentielle d'une matrice et son application puissante à la résolution de systèmes différentiels linéaires.

Prérequis : Une solide connaissance de l'algèbre de base (Algèbre 1 & 2) est recommandée.

Modalités d'évaluation :

• Examen final : 60%

• Contrôle continu  : 40%

Références bibliographiques :

• Problèmes et théorèmes d'algèbre linéaire, V. Prasolov

• Mathématiques, tome 4, Algèbre, E. Azoulay et J. Avignant